证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)

证明：
要证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)成立
即要证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)≥0
即2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)]≥0

而
2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)]
=(a^2b^2+c^2a^2-2a^2bc)+(a^2b^2+b^2c^2-2ab^2c)+(b^2c^2+c^2a^2-2abc^2)
=a^2(b-c)^2+b^2(a-c^2)+c^2(b-c)^2
≥0恒成立
所以不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
得证

b^2+c^2≥2bc,a^2*[b^2+c^2]≥2bc*a^2,b^2*[a^2+c^2]≥2ac*b^2,c^2*[a^2+b^2]≥2ab*c^2,三个式子加起来在除以2就行了

上面两位都很厉害啊

证明：

令M=ab,N=bc,P=ca,则

MP=a^2*bc=a*(abc)
MN=b^2*ca=b*(abc)
NP=c^2*ab=c*(abc)

原不等式等价于
M^2+N^2+P^2≥MP+MN+NP …… (*)

而由(M-N)^2+(N-P)^2+(M-P)^2≥0得

M^2-2*MN+N^2+N^2-2NP+P^2+M^2-2MP+P^2≥0
即M^2+N^2+P^2≥MP+MN+NP
故(*)成立，即原不等式成立.